Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi \over 4}} {\sin x\sin 2xdx} = {a \over b}\sqrt c \). Trong ddos \({a \over b}\) là phân số tối giản và \(a,b,c \in N\). Tính \({a^2} + {b^2} – c\)

Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi \over 4}} {\sin x\sin 2xdx} = {a \over b}\sqrt c \). Trong ddos \({a \over b}\) là phân số tối giản và \(a,b,c \in N\). Tính \({a^2} + {b^2} – c\)

A. 8

B. 6

C. 12

D. 35

Hướng dẫn

Chọn đáp án là D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\)

Đặt ẩn phụ \(t = \sin x\)

Lời giải chi tiết:

\(I = \int\limits_0^{{\pi \over 4}} {\sin x\sin 2xdx} = 2\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{\sin }^2}x\cos xdx} \)

Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\), đổi cận \(\left\{ \matrix{ x = 0 \Rightarrow t = 0 \hfill \cr x = {\pi \over 4} \Rightarrow t = {{\sqrt 2 } \over 2} \hfill \cr} \right.\)

\( \Rightarrow I = 2\int\limits_0^{{{\sqrt 2 } \over 2}} {{t^2}dt} = \left. {{{2{t^3}} \over 3}} \right|_0^{{{\sqrt 2 } \over 2}} = {2 \over 3}{\left( {{{\sqrt 2 } \over 2}} \right)^3} = {2 \over 3}.{{2\sqrt 2 } \over 8} = {1 \over 6}\sqrt 2 \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = 1 \hfill \cr b = 6 \hfill \cr c = 2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} – c = 35\)

Chọn D.