Cho số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(z + 1 + 3i – \left| z \right|i = 0\). Tính \(S = a – 3b\).

Cho số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(z + 1 + 3i – \left| z \right|i = 0\). Tính \(S = a – 3b\).

A. \(S = \frac{7}{3}\).

B. \(S = – \frac{7}{3}\).

C. \(S = – 3\)

D. \(S = 3\).

Hướng dẫn

Chọn đáp án là D

Phương pháp giải:

Đặt \(z = a + bi\), biến đổi VT về dạng \(A + Bi = 0 \Leftrightarrow A = B = 0\), từ đó tìm \(a,b\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(z + 1 + 3i – \left| z \right|i = 0 \Leftrightarrow a + bi + 1 + 3i – \sqrt {{a^2} + {b^2}} .i = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 0\\b + 3 – \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 1\\b + 3 = \sqrt {1 + {b^2}} \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 1\\b + 3 \ge 0\\{b^2} + 6b + 9 = 1 + {b^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 1\\b \ge – 3\\b = – \frac{4}{3}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 1\\b = – \frac{4}{3}\end{array} \right.\)

\(S = a – 3b = – 1 – 3.\frac{{ – 4}}{3} = – 1 + 4 = 3\).

Chọn: D