by Cho số phức \(z = a + bi\)\(\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\); \(\left| z \right| = 5;\)\(\left( {4 – 3i} \right)z\) là số thực. Giá trị \(\left| a \right| + \left| b \right| + 3\) là:
A. \(9\)
B. \(10\)
C. \(11\)
D. \(7\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
– \(z = a + bi \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \), suy ra mối liên hệ giữa \(a\) và \(b\).
– Thay \(z = a + bi\) vào \(\left( {4 – 3i} \right)z\), tìm phần ảo của nó và cho bằng 0, giải phương trình tìm \(\left| b \right|\).
– Thế ngược lại tìm \(\left| a \right|\) và tính \(\left| a \right| + \left| b \right| + 3.\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(z = a + bi\).
Ta có \(\left| z \right| = 5 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 25\) (1).
Lại có \(\left( {4 – 3i} \right)z = \left( {4 – 3i} \right)\left( {a + bi} \right)\)\( = 4a + 3b + \left( {4b – 3a} \right)i\) là số thực nên \(4b = 3a \Leftrightarrow a = \frac{{4b}}{3}\).
Thay vào (1) ta có: \(\frac{{16{b^2}}}{9} + {b^2} = 25 \Leftrightarrow {b^2} = 9 \Leftrightarrow \left| b \right| = 3\).
Với \({b^2} = 9\) ta có \({a^2} = 25 – {b^2} = 16\)\( \Rightarrow \left| a \right| = 4\).
Vậy \(\left| a \right| + \left| b \right| + 3 = 4 + 3 + 3 = 10.\)
Chọn B.
