Cho phương trình \({z^3} + a{z^2} + bz + c = 0\left( {a,b,c \in R;{\text{ }}a \ne 0} \right)\). Nếu \(z = 1 + i\) và \(z = 2\) là 2 nghiệm của phương trình thì \(a,b,c\) bằng:

Cho phương trình \({z^3} + a{z^2} + bz + c = 0\left( {a,b,c \in R;{\text{ }}a \ne 0} \right)\). Nếu \(z = 1 + i\) và \(z = 2\) là 2 nghiệm của phương trình thì \(a,b,c\) bằng:

A. \(\left\{ \begin{array}{l}a = – 4\\b = 6\\c = – 4\end{array} \right.\)

B. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\\c = 4\end{array} \right.\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 5\\c = 1\end{array} \right.\)

D. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = – 1\\c = 2\end{array} \right.\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Lời giải chi tiết:

Vì \(z = 1 + i\) là nghiệm của phương trình nên ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {1 + i} \right)^3} + a{\left( {1 + i} \right)^2} + b\left( {1 + i} \right) + c = 0\\ \Leftrightarrow 1 + 3i + 3{i^2} + {i^3} + a(1 + 2i + {i^2}) + b + bi + c = 0\\ \Leftrightarrow 1 + 3i – 3 – i + a + 2ai – a + b + bi + c = 0\\ \Leftrightarrow \left( {b + c – 2} \right) + \left( {2a + b + 2} \right)i = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b + 2 = 0\\b + c – 2 = 0\end{array} \right.{\rm{ }}\left( 1 \right)\end{array}\)

Vì \(z = 2\) là nghiệm của phương trình nên:

\({2^3} + a{.2^2} + b.2 + c = 0 \Leftrightarrow 4a + 2b + c + 8 = 0{\text{ }}\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = – 2\\b + c = 2\\4a + 2b + c = – 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 4\\b = 6\\c = – 4\end{array} \right.\)

Chọn A