by Cho năm số tự nhiên a, b, c, d, e thỏa mãn \({a^b} = {b^c} = {c^d} = {d^e} = {e^a}\). Chứng minh rằng năm số a, b, c, d, e bằng nhau.
Phương pháp giải:
+) Chứng minh bằng phản chứng
+) Áp dụng tính chất hai lũy thừa bằng nhau
Giả sử hai trong số 5 số tự nhiên đã cho không bằng nhau: \(a < b\) (1)
Trong hai lũy thừa bằng nhau thì lũy thừa có cơ số nhỏ hơn sẽ có số mũ lớn hơn và ngược lại.
Có \({a^b} = {b^c}\) mà \(a c\)
Có \({b^c} = {c^d}\) mà \(b > c \Rightarrow c < d\)
Có \({c^d} = {d^e}\) mà \(c e\)
Có \({d^e} = {e^a}\) mà \(d > e \Rightarrow e < a\)
Có \({e^a} = {a^b}\) mà \(e b\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) giả thiết sai
Vậy \(a = b = c = d = e\) (đpcm)
