by Cho \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {x + 4} \), trục hoành và trục tung. Biết đường thẳng \(d:\,\,ax + by – 16 = 0\) đi qua \(A\left( {0;2} \right)\) và chia \(\left( H \right)\) thành hai phần có diện tích bằng nhau. Giá trị của \(a + 2b\) bằng:
A. \(10\)
B. \(5\)
C. \(22\)
D. \(6\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
– Tính diện tích của \(\left( H \right)\).
– Gọi \(B\left( {{x_0};0} \right) \in d \cap Ox\), tính diện tích \({S_{OAB}}\).
– Dựa vào giả thiết suy ra \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}{S_{\left( H \right)}}\), tìm \({x_0}\), sau đó tìm \(a;\,\,b\).
Lời giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \sqrt {x + 4} \) và trục hoành:
\(\sqrt {x + 4} = 0 \Leftrightarrow x = – 4\).
Suy ra \({S_{\left( H \right)}} = \int\limits_{ – 4}^0 {\left| {\sqrt {x + 4} – 0} \right|dx} = \int\limits_{ – 4}^0 {\sqrt {x + 4} dx} = \frac{{16}}{3}\).
Ta có: \(A\left( {0;2} \right)\) chính là giao điểm của đường thẳng \(d\) và đồ thị hàm số \(y = \sqrt {x + 4} \).
Gọi \(B\left( {{x_0};0} \right) \in d \cap Ox\), ta có \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}.OA.OB = \frac{1}{2}.2.\left| {{x_0}} \right| = \left| {{x_0}} \right|\).
Để đường thẳng \(d:\,\,ax + by – 16 = 0\) và chia \(\left( H \right)\) thành hai phần có diện tích bằng nhau thì \({x_0} < 0\) và \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}{S_{\left( H \right)}}\).
\( \Rightarrow \left| {{x_0}} \right| = \frac{8}{3} \Leftrightarrow {x_0} = – \frac{8}{3}\) (Do \({x_0} < 0\)).
Suy ra đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {0;2} \right)\) và \(B\left( { – \frac{8}{3};0} \right)\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2b – 16 = 0\\ – \frac{8}{3}a – 16 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 8\\a = – 6\end{array} \right.\).
Vậy \(a + 2b = – 6 + 2.8 = 10\).
Chọn A.
