: Cho khai triển ${{(1+2x)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+…+{{a}_{n}}{{x}^{n}}$, trong đó $n\in \mathbb{N}*$. Tìm số lớn nhất trong các số ${{a}_{0}},{{a}_{1}},…,{{a}_{n}}$, biết các hệ số ${{a}_{0}},{{a}_{1}},…,{{a}_{n}}$ thỏa mãn hệ thức: ${{a}_{0}}+\frac{{{a}_{1}}}{2}+…+\frac{{{a}_{n}}}{{{2}^{n}}}=4096$.

: Cho khai triển ${{(1+2x)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+…+{{a}_{n}}{{x}^{n}}$, trong đó $n\in \mathbb{N}*$. Tìm số lớn nhất trong các số ${{a}_{0}},{{a}_{1}},…,{{a}_{n}}$, biết các hệ số ${{a}_{0}},{{a}_{1}},…,{{a}_{n}}$ thỏa mãn hệ thức: ${{a}_{0}}+\frac{{{a}_{1}}}{2}+…+\frac{{{a}_{n}}}{{{2}^{n}}}=4096$.

C. 126720

B. 213013

C. 130272

D. 130127

Hướng dẫn

Chọn A

Đặt $f(x)={{(1+2x)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+…+{{a}_{n}}{{x}^{n}}$

$\Rightarrow {{a}_{0}}+\frac{{{a}_{1}}}{2}+…+\frac{{{a}_{n}}}{{{2}^{n}}}=f\left( \frac{1}{2} \right)={{2}^{n}}$$\Rightarrow {{2}^{n}}=4096\Leftrightarrow n=12$

Với mọi $k\in \left\{ 0,1,2,…,11 \right\}$ ta có: ${{a}_{k}}={{2}^{k}}C_{12}^{k},\text{ }{{a}_{k+1}}={{2}^{k+1}}C_{12}^{k+1}$

$\Leftrightarrow \frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{k+1}}}<1\Leftrightarrow \frac{{{2}^{k}}C_{12}^{k}}{{{2}^{k+1}}C_{12}^{k+1}}<1\Leftrightarrow \frac{k+1}{2(12-k)}<1\Leftrightarrow k<\frac{23}{3}$

Mà $k\in Z\Rightarrow k\le 7$. Do đó ${{a}_{0}}<{{a}_{1}}<…<{{a}_{8}}$

Tương tự: $\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{k+1}}}>1\Leftrightarrow k>7\Rightarrow {{a}_{8}}>{{a}_{9}}>…>{{a}_{12}}$

Số lớn nhất trong các số ${{a}_{0}},{{a}_{1}},…,{{a}_{12}}$ là ${{a}_{8}}={{2}^{8}}C_{12}^{8}=126720$.