by Cho \(\int\limits_{4}^{5}{\frac{dx}{{{x}^{2}}+3x+2}}=a\ln 2+b\ln 3+c\ln 5+d\ln 7\) với a, b, c, d là các số nguyên. Tính \(P=ab+cd\)
A. P = 5
B. P = 3
C. P = – 4
D. P = 2
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
\(\frac{1}{{{x}^{2}}+3x+2}=\frac{1}{\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}\) , đồng nhất hệ số tìm hằng số A, B và sử dụng công thức \(\int{\frac{1}{ax+b}dx}=\frac{1}{a}\ln \left| ax+b \right|+C\)
Lời giải chi tiết:
Ta có :
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{{x^2} + 3x + 2}} = \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x + 2 – \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{{x + 1}} – \frac{1}{{x + 2}}\\ \Rightarrow \int\limits_4^5 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 3x + 2}}} = \int\limits_4^5 {\left( {\frac{1}{{x + 1}} – \frac{1}{{x + 2}}} \right)dx} = \left. {\ln \left| {\frac{{x + 1}}{{x + 2}}} \right|} \right|_4^5 = \ln \frac{6}{7} – \ln \frac{5}{6} = \ln \frac{{36}}{{35}}\\ = \ln 36 – \ln 35\\ = 2\ln 6 – \left( {\ln 5 + \ln 7} \right)\\ = 2\ln 2 + 2\ln 3 – \ln 5 – \ln 7\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\\c = – 1\\d = – 1\end{array} \right. \Rightarrow ab + cd = 4 + 1 = 5\end{array}\)
Chọn A.
