Cho \(\int\limits_1^2 {\left( {x + 1} \right){e^x}dx} = a{e^2} + be + c\) với \(a,b,c\) là các số nguyên. Tính \(a + b + c\).

Cho \(\int\limits_1^2 {\left( {x + 1} \right){e^x}dx} = a{e^2} + be + c\) với \(a,b,c\) là các số nguyên. Tính \(a + b + c\).

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(4\)

D. \(3\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là B

Phương pháp giải:

Thực hiện tích phân từng phần:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = {e^x}dx\end{array} \right.\) tính tích phân đã cho suy ra \(a,b,c\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_1^2 {\left( {x + 1} \right){e^x}dx} = \left. {\left( {x + 1} \right){e^x}} \right|_1^2 – \int\limits_1^2 {{e^x}dx} = 3{e^2} – 2e – \left. {{e^x}} \right|_1^2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{e^2} – 2e – {e^2} + e = 3{e^2} – {e^2} – e\end{array}\)

Vậy \(a = 3,b = – 1,c = – 1 \Rightarrow a + b + c = 1\).

Chọn B.