Cho \(I = \int\limits_0^4 {{x^3}\sqrt {{x^2} + 9} dx} \). Nếu đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 9} \) thì ta có kết quả nào sau đây?

Cho \(I = \int\limits_0^4 {{x^3}\sqrt {{x^2} + 9} dx} \). Nếu đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 9} \) thì ta có kết quả nào sau đây?

A. \(I = \int\limits_0^4 {\left( {{t^2} – 9} \right)tdt} \)

B. \(I = \int\limits_0^4 {\left( {{t^2} – 9} \right){t^2}dt} \)

C. \(I = \int\limits_3^5 {\left( {{t^2} – 9} \right)tdt} \)

D. \(I = \int\limits_3^5 {\left( {{t^2} – 9} \right){t^2}dt} \)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là D

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 9} \)

Lời giải chi tiết:

\(I = \int\limits_0^4 {{x^3}\sqrt {{x^2} + 9} dx} = \int\limits_0^4 {{x^2}\sqrt {{x^2} + 9} xdx} \)

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 9} \Leftrightarrow {t^2} = {x^2} + 9 \Leftrightarrow tdt = xdx\) và \({x^2} = {t^2} – 9\), đổi cận \(\left\{ \matrix{ x = 0 \Rightarrow t = 3 \hfill \cr x = 4 \Rightarrow t = 5 \hfill \cr} \right.\) . Khi đó ta có:

\(I = \int\limits_3^5 {\left( {{t^2} – 9} \right)t.tdt} = \int\limits_3^5 {\left( {{t^2} – 9} \right){t^2}dt} \)

Chọn D.