Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi parabol \(y = a{x^2} + 1\,\,\,\left( {a > 0} \right)\), trục tung và đường thẳng\(x = 1\). Quay \(\left( H \right)\)quanh trục Ox được một khối tròn xoay có thể tích bằng \(\frac{{28}}{{15}}\pi \). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi parabol \(y = a{x^2} + 1\,\,\,\left( {a > 0} \right)\), trục tung và đường thẳng\(x = 1\). Quay \(\left( H \right)\)quanh trục Ox được một khối tròn xoay có thể tích bằng \(\frac{{28}}{{15}}\pi \). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(2 < a < 3\)

B. \(0 < a < 2\)

C. \(5 < a < 8\)

D. \(3 < a < 5\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là B

Phương pháp giải:

Sử dụng ứng dụng của tích phân trong tính thể tích khối tròn xoay

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}V = \frac{1}{2}.\left( {\int\limits_0^1 {\frac{{\sqrt 3 .4{{\left( {1 – x} \right)}^2}}}{4} + \int\limits_{ – 1}^0 {\frac{{\sqrt 3 .4{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{4}} } } \right)\\ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} \right) = \frac{\sqrt 3 }{3} \end{array}\)

Vậy \(0 < a < 2\)

Chọn B.