Cho hình chóp $S.ABCD,\,\,D,M$ lần lượt là trung điểm của $BC,AD$ . Gọi $E$ là giao điểm của $\left( SBM \right)$ với $AC,\,\,F$ là giao điểm của $\left( SCM \right)$ với $AB$ . Tính $\frac{MF}{CM-ME}+\frac{ME}{BM-ME}$ ?

Cho hình chóp $S.ABCD,\,\,D,M$ lần lượt là trung điểm của $BC,AD$ . Gọi $E$ là giao điểm của $\left( SBM \right)$ với $AC,\,\,F$ là giao điểm của $\left( SCM \right)$ với $AB$ . Tính $\frac{MF}{CM-ME}+\frac{ME}{BM-ME}$ ?

C. $1$.

B. $2$.

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{1}{3}$ .

Hướng dẫn

Đáp án A.

Ta có : $\frac{BM}{ME}=\frac{{{S}_{ABM}}}{{{S}_{AME}}}=\frac{{{S}_{CBM}}}{{{S}_{CME}}}=\frac{{{S}_{ABM}}+{{S}_{CBM}}}{{{S}_{AME}}+{{S}_{CME}}}=\frac{{{S}_{ABM}}+{{S}_{CBM}}}{{{S}_{AME}}}=\frac{BD}{CD}+\frac{BF}{FA}$

$\Rightarrow \frac{BF}{AF}=\frac{BM}{ME}-1=\frac{BM-ME}{ME}\left( 1 \right)$ .

Tương tự ta cũng chứng minh được: $\frac{CM}{MF}=\frac{CE}{AE}+\frac{CD}{BD}\Rightarrow \frac{CE}{AE}=\frac{CM}{MF}-1=\frac{CM-MF}{MF}\left( 2 \right)$

Và $1=\frac{AM}{MD}=\frac{AE}{CE}+\frac{AF}{BF}\left( 3 \right)$

Từ (1,2,3) suy ra $\frac{MF}{CM-MF}+\frac{ME}{BM-ME}=1$