by Cho hình chóp $S.ABCD$ với đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ di động đi qua $AB$ và cắt $SC,SD$ lần lượt tại $M,N$.
a/ Tứ giác $ABMN$ là hình gì?
C. Hình bình hành.
B. Hình thang.
C. Hình thoi.
D. Tứ giác lồi có các cặp cạnh đối cắt nhau.
b/ Giao điểm của hai đường thẳng $AM$ và $BN$ luôn chạy trên đường thẳng cố định:
A.$SO$.
B. Đường thẳng đi qua $S$.
C. Đường thẳng đi qua $S$, song song với $AB$.
D. Đường thẳng đi qua $S$, song song với $AD$.
c/ Giao điểm của hai đường thẳng $AN$ và $BM$ luôn chạy trên đường thẳng cố định:
A.$SO$.
B. Đường thẳng đi qua $S$.
C. Đường thẳng đi qua $S$, song song với $AB$.
D. Đường thẳng đi qua $S$, song song với $AD$.
d/ Tính $\frac{AB}{MN}-\frac{BC}{SK}$?
C. $0$.
B. $\frac{1}{2}$.
C. $\frac{1}{3}$.
D. $\frac{2}{3}$.
Hướng dẫn
Đáp án B, A, D, A.
a) Ta có : $\left\{ \begin{align}
& MN=\left( ABM \right)\cap \left( SCD \right) \\
& AB=\left( ABM \right)\cap \left( ABCD \right) \\
& CD=\left( ABCD \right)\cap \left( SCD \right) \\
& CD\parallel AB \\
\end{align} \right.$$\Rightarrow MN\parallel AB$.
Do đó $ABMN$ là hình thang. Do $MN<AB$ nên $ABMN$ không thể là hình bình hành, hinh thoi. Vậy đáp án đúng là B.
b) Gọi $I=AM\cap BN\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& I\in \left( SAC \right) \\
& I\in \left( SBD \right) \\
\end{align} \right.$$\Rightarrow I\in SO=\left( SAC \right)\cap \left( SBD \right)$. Vậy đáp án đúng là A.
c) Gọi $K=AN\cap BM\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& I\in \left( SAD \right) \\
& I\in \left( SBC \right) \\
\end{align} \right.$$\Rightarrow I\in \left( SAD \right)\cap \left( SBC \right)$.
Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( SAD \right)$ và $\left( SBC \right)$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AD$.
Vậy đáp án đúng là D.
d) Do $MN\parallel AB$ nên $\frac{AB}{MN}=\frac{BM}{MK}\text{ }\left( 1 \right)$.
Do $SK\parallel BC$ nên $\frac{CB}{SK}=\frac{MB}{MK}\text{ }\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $\frac{AB}{MN}-\frac{BC}{SK}=0$. Vậy đáp án đúng là A.
