by Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, tâm $O$. Mặt bên $\left( SAB \right)$ là tam giác đều và $\widehat{SAD}=90{}^\circ $. Gọi $Dx$ là đường thẳng qua $D$ và song song với $SC$.
a/ Giao điểm $I$ của đường thẳng $Dx$ với mặt phẳng $\left( SAB \right)$ chạy trên đường thẳng:
C. Qua $S$ và song song với $AB$.
B. Qua $S$ và song song với $AD$
C. $SO$.
D. $SD$.
b/ Diện tích thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi $\left( AIC \right)$ là:
C. $\frac{{{a}^{2}}\sqrt{7}}{8}$.
B. $\frac{{{a}^{2}}\sqrt{7}}{4}$.
C. $\frac{{{a}^{2}}\sqrt{7}}{2}$.
D. $\frac{{{a}^{2}}\sqrt{7}}{16}$.
Hướng dẫn
Đáp án A, A.
a) Do $Dx\parallel SC$ nên hai đường thẳng này cùng nằm trong mặt phẳng $\left( SCD \right)$.
Lại có, hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SCD \right)$ có $D$ là điểm chung, $AB\parallel CD$ nên giao tuyến là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AB$. Vậy $I$ thuộc giao tuyến này.
Vậy đáp án đúng là A.
b) Gọi $E$ là giao điểm của $SD$ và $IC$. Suy ra thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $\left( AIC \right)$ là tam giác $ACE$.
Ta có $SIDC$ là hình thang nên $SI=CD$ và $SI\parallel CD$. Suy ra $SI=AB$ và $SI\parallel AB$. Điều này suy ra $SIDC$ là hình bình hành. Khi đó $AI=SB=a$.
Mặt khác, $AC=SD=a\sqrt{2}\Rightarrow AE=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Xét tam giác $IAC$ có : $C{{I}^{2}}=2\left( A{{C}^{2}}+A{{I}^{2}} \right)-4A{{E}^{2}}=4{{a}^{2}}\Rightarrow CI=2a$.
Ta có : $\cos \widehat{CAE}=\frac{A{{E}^{2}}+A{{C}^{2}}-C{{E}^{2}}}{2AC.AE}=\frac{\frac{{{a}^{2}}}{2}+2{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}{2{{a}^{2}}}=\frac{3}{4}\Rightarrow \sin \widehat{CAE}=\frac{\sqrt{7}}{4}$.
Diện tích thiết diện là : $S=\frac{1}{2}AC.AE.\sin \widehat{CAE}=\frac{1}{2}a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{7}}{8}$.
Vậy đáp án đúng là A.
