by Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt các cạnh bên $SA,SB,SC,SD$ tương ứng tại các điểm $E,\,\,F,\,\,G,\,\,H$ . Gọi $I=AC\cap BD,J=EG\cap SI$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
C. $\frac{SA}{SE}+\frac{SC}{SG}=\frac{SB}{SF}+\frac{SD}{SH}$.
B. $\frac{SA}{SE}+\frac{SC}{SG}\ge 2\frac{SI}{SJ}$.
C. $\frac{SA}{SE}+\frac{SC}{SG}>\frac{SB}{SF}+\frac{SD}{SH}$ .
D. $\frac{SB}{SF}+\frac{SD}{SH}\ge 2\frac{SI}{SJ}$.
Hướng dẫn
Đáp án A.
Xét trường hợp đặc biệt $E,F,G,H$ lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Khi đó ta dễ dàng loại được đáp án D.
Dựng $AT//EG\left( T\in SI \right),CK//EG\left( KESI \right)$
Theo định lý Thales, ta có:
$\frac{SA}{SE}=\frac{ST}{SJ},\frac{SC}{SG}=\frac{SK}{SJ};\frac{IT}{IK}=\frac{IA}{IC}=1$
Suy ra: $\frac{SA}{SE}+\frac{SC}{SG}=\frac{ST+SK}{SJ}=\frac{SI-IT+SI+IK}{SJ}=2\frac{SI}{SJ}$
Như vậy, ý B bị loại.
Tương tự, ta chứng minh được $\frac{SB}{SF}+\frac{SD}{SH}=2\frac{SI}{SJ}.$
Từ đây ta thấy ngay ý C bị loại và A là đáp án A là đáp án lựa chọn.
Chú ý: Cho tam giác ABC. Gọi O là trung điểm AC, M, N là hai điểm nằm trên cạnh AB, AC. MN cắt BO tại I. Khi đó: $\frac{BA}{BM}+\frac{BC}{BN}=\frac{2BO}{BI}$ .
