by Cho hàm số \(y = \frac{{x – 2}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Khi đó khoảng cách từ tâm đối xứng của \(\left( C \right)\) đến \(\Delta \) bằng?
A. \(\sqrt 3 \).
B. \(2\sqrt 6 \).
C. \(\sqrt 6 \).
D. \(2\sqrt 3 \).
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}},\left( {ad – bc,c \ne 0} \right)\)có TCĐ: \(x = – \frac{d}{c}\), TCN: \(y = \frac{a}{c}\)và có tâm đối xứng là\(I\left( { – \frac{d}{c};\frac{a}{c}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x – 2}}{{x + 1}}\) có TCĐ \(x = – 1\), TCN: \(y = 1\) và có tâm đối xứng là \(I\left( { – 1;1} \right)\).
Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)là tiếp điểm;
A, B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến \(\Delta \) với TCĐ, TCN;
J, r lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác IAB.
Phương trình tiếp tuyến \(\Delta \): \(y = y’\left( {{x_0}} \right).\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0} \Leftrightarrow y = \frac{3}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}.\left( {x – {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} – 2}}{{{x_0} + 1}}\)
Cho \(x = – 1 \Rightarrow y = \frac{3}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}.\left( { – 1 – {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} – 2}}{{{x_0} + 1}} = \frac{{{x_0} – 5}}{{{x_0} + 1}} \Rightarrow A\left( { – 1;\frac{{{x_0} – 5}}{{{x_0} + 1}}} \right) \Rightarrow IA = \left| {\frac{6}{{{x_0} + 1}}} \right|\)
Cho \(y = 1 \Rightarrow 1 = \frac{3}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}.\left( {x – {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} – 2}}{{{x_0} + 1}} \Leftrightarrow x = 2{x_0} + 1 \Rightarrow B\left( {2{x_0} + 1;1} \right) \Rightarrow IB = 2\left| {{x_0} + 1} \right|\)
\( \Rightarrow IA.IB = 12,\,\,\forall {x_0} \ne – 1\)
\({S_{IAB}} = \frac{1}{2}IA.IB = \frac{1}{2}\left( {IA + IB + AB} \right).r\)
\( \Rightarrow r = \frac{{IA.IB}}{{IA + IB + AB}} = \frac{{IA.IB}}{{IA + IB + \sqrt {I{A^2} + I{B^2}} }}\)
\( = \frac{{12}}{{IA + IB + \sqrt {{{\left( {IA + IB} \right)}^2} – 24} }}\)
Ta có: \(IA + IB \ge 2\sqrt {IA.IB} = 4\sqrt 3 \), dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(IA = IB\)
Đặt \(IA + IB = t,\,\,t \ge 4\sqrt 3 \), ta có:
\(f\left( t \right) = t + \sqrt {{t^2} – 24} \Rightarrow f’\left( t \right) = 1 + \frac{t}{{\sqrt {{t^2} – 24} }} > 0,\,\,\forall t > 4\sqrt 3 \)
\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {4\sqrt 3 ; + \infty } \right)\)
Ta có: \(f\left( {4\sqrt 3 } \right) = 8\sqrt 3 \)
\( \Rightarrow f\left( t \right) \ge 8\sqrt 3 ,\,\,\forall t \ge 4\sqrt 3 \Rightarrow \frac{{12}}{{f\left( t \right)}} \le \frac{{12}}{{8\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2},\,\,\forall t \ge 4\sqrt 3 \)
\( \Rightarrow {r_{\max }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) khi và chỉ khi \(IA = IB = 2\sqrt 3 \) \( \Rightarrow \Delta IAB\) vuông cân tại I có \(d\left( {I;\Delta } \right) = IH = \frac{{IA}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 6 \)
Chọn: C
