by Cho hàm số \(y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}\,\,\left( C \right)\). Biết rằng \({M_1}\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \({M_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là hai điểm trên đồ thị \(\left( C \right)\) có tổng khoản cách đến hai tiệm cận của \(\left( C \right)\) nhỏ nhất. Tính giá trị \(P = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}\).
A. \(0\)
B. \( – 2\)
C. \(1\)
D. \( – 1\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
– Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
– Gọi \(M\left( {a;\frac{{2a – 1}}{{a + 1}}} \right) \in \left( C \right)\) \(\left( {a \ne – 1} \right)\). Tính các khoảng cách từ \(M\) đến hai đường tiệm cận.
– Sử dụng BĐT Cô-si để tìm GTNN của tổng khoảng cách.
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1} \right\}\).
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}\,\,\left( C \right)\) có hai đường tiệm cận là \(y = 2;\,\,x = – 1\).
Gọi \(M\left( {a;\frac{{2a – 1}}{{a + 1}}} \right) \in \left( C \right)\) \(\left( {a \ne – 1} \right)\).
Khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(y = 2 \Leftrightarrow y – 2 = 0\) là:
\({d_1} = \frac{{\left| {\frac{{2a – 1}}{{a + 1}} – 2} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \left| {\frac{{2a – 1 – 2a – 2}}{{a + 1}}} \right|\)\( = \frac{3}{{\left| {a + 1} \right|}}\).
Khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(x = – 1 \Leftrightarrow x + 1 = 0\) là:
\({d_2} = \frac{{\left| {a + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \left| {a + 1} \right|\).
Do đó tổng khoảng cách từ \(M\) đến hai đường tiệm cận là:
\(d = {d_1} + {d_2} = \frac{3}{{\left| {a + 1} \right|}} + \left| {a + 1} \right|\) \( \ge 2\sqrt {\frac{3}{{\left| {a + 1} \right|}}.\left| {a + 1} \right|} = 2\sqrt 3 \) (BĐT Cô-si)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{3}{{\left| {a + 1} \right|}} = \left| {a + 1} \right| \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} = 3\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = – 1 + \sqrt 3 \\a = – 1 – \sqrt 3 \end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\).
Với \(a = – 1 + \sqrt 3 \) ta có \({M_1}\left( { – 1 + \sqrt 3 ;2 – \sqrt 3 } \right)\).
Với \(a = – 1 – \sqrt 3 \) ta có \({M_2}\left( { – 1 – \sqrt 3 ;2 + \sqrt 3 } \right)\).
Vậy
\(\begin{array}{l}P = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}\\\,\,\,\,\, = \left( { – 1 + \sqrt 3 } \right)\left( { – 1 – \sqrt 3 } \right) + \left( {2 – \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\\\,\,\,\,\, = {\left( { – 1} \right)^2} – 3 + 4 – 3\\\,\,\,\,\, = – 1\end{array}\)
Chọn D.
