by Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = 0,\,\,f’\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\). Họ nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right) = 4xf\left( x \right)\) là:
A. \(\left( {{x^2} + 1} \right)\ln \left( {{x^2}} \right) – {x^2} + c\)
B. \({x^2}\ln \left( {{x^2} + 1} \right) – {x^2}\)
C. \(\left( {{x^2} + 1} \right)\ln \left( {{x^2} + 1} \right) – {x^2} + c\)
D. \(\left( {{x^2} + 1} \right)\ln \left( {{x^2} + 1} \right) – {x^2}\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
+) \(f\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {f’\left( x \right)dx} \Rightarrow \) Xác định hàm số \(f\left( x \right)\).
+) Sử dụng phương pháp đổi biến và nguyên hàm từng phần tính nguyên hàm của hàm \(g\left( x \right)\).
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}f’\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {f’\left( x \right)dx} = \int\limits_{}^{} {\frac{{xdx}}{{{x^2} + 1}}} = \frac{1}{2}\int\limits_{}^{} {\frac{{d\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}} = \frac{1}{2}\ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C\\f\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\ln 1 + C = 0 \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{2}\ln \left( {{x^2} + 1} \right)\\ \Rightarrow g\left( x \right) = 4xf\left( x \right) = 2x\ln \left( {{x^2} + 1} \right) \Rightarrow \int\limits_{}^{} {g\left( x \right)dx} = \int\limits_{}^{} {2x\ln \left( {{x^2} + 1} \right)dx} \end{array}\)
Đặt \(t = {x^2} + 1 \Rightarrow dt = 2xdx\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_{}^{} {g\left( x \right)dx} = \int\limits_{}^{} {\ln tdt} = t\ln t – \int\limits_{}^{} {t.\frac{1}{t}dt} = t\ln t – \int\limits_{}^{} {dt} = t\ln t – t + C\\ = \left( {{x^2} + 1} \right)\ln \left( {{x^2} + 1} \right) – \left( {{x^2} + 1} \right) + C\end{array}\)
Đặt \( – 1 + C = c \Rightarrow \int\limits_{}^{} {g\left( x \right)dx} = \left( {{x^2} + 1} \right)\ln \left( {{x^2} + 1} \right) – {x^2} + c\).
Chọn C
