by Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình \(f\left( {1 – f\left( x \right)} \right) = 2\) là:
A. \(2\)
B. \(3\)
C. \(5\)
D. \(4\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
– Đặt \(t = 1 – f\left( x \right)\), đưa phương trình về dạng phương trình ẩn \(t\).
– Tìm số nghiệm của phương trình thông qua số giao điểm của đồ thị hàm số.
– Từ nghiệm \(t\) tìm được thay lại phương trình \(f\left( x \right) = 1 – t\) để tìm số nghiệm \(x\), tiếp tục áp dụng phương pháp tương giao.
Lời giải chi tiết:
Đặt \(t = 1 – f\left( x \right)\), phương trình trở thành \(f\left( t \right) = 2\).
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = 2\).
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f\left( t \right) = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = – 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 – f\left( x \right) = 1\\1 – f\left( x \right) = – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\f\left( x \right) = 3\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).
+ Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 0\) nên phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.
+ Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 3\) nên phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất.
Vậy phương trình đã cho có tất cả 4 nghiệm.
Chọn D.
