by Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(f\left( {4x} \right) = f\left( x \right) + 4{x^3} + 2x\) và \(f\left( 0 \right) = 2\) . Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx\).
A. \(\frac{{148}}{{63}}\)
B. \(\frac{{146}}{{63}}\)
C. \(\frac{{149}}{{63}}\)
D. \(\frac{{145}}{{63}}\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
– Biến đổi đẳng thức đã cho thành:
\(f\left( {4x} \right) = f\left( x \right) + 4{x^3} + 2x \Leftrightarrow f\left( {4x} \right) – f\left( x \right) = 4{x^3} + 2x\)
– Từ đó suy ra \(f\left( x \right)\) có dạng \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)
– Sử dụng điều kiện bài cho tìm hàm số \(f\left( x \right)\) và tính tích phân.
Lời giải chi tiết:
\(f\left( {4x} \right) = f\left( x \right) + 4{x^3} + 2x \Leftrightarrow f\left( {4x} \right) – f\left( x \right) = 4{x^3} + 2x\)
\( \Rightarrow f\left( x \right)\) có dạng \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)
Vì \(f\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow d = 2\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}f\left( {4x} \right) – f\left( x \right) = 4{x^3} + 2x\\ \Rightarrow \left( {64a{x^3} + 16b{x^2} + 4cx + 2} \right) – \left( {a{x^3} + b{x^2} + cx + 2} \right) = 4{x^3} + 2x\\ \Rightarrow 63a{x^3} + 15b{x^2} + 3cx = 4{x^3} + 2x\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}63a = 4\\15b = 0\\3c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{4}{{63}}\\b = 0\\c = \frac{2}{3}\end{array} \right.\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{4}{{63}}{x^3} + \frac{2}{3}x + 2\end{array}\)
Vậy \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{4}{{63}}{x^3} + \frac{2}{3}x + 2} \right)dx} = \frac{{148}}{{63}}\).
Chọn A.
