Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} – mx + m + 2}}{{ – x + m + 1}}\). Để hàm số nghịch biến trong \(\left( {2; + \infty } \right)\), giá trị cần tìm của tham số m là:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} – mx + m + 2}}{{ – x + m + 1}}\). Để hàm số nghịch biến trong \(\left( {2; + \infty } \right)\), giá trị cần tìm của tham số m là:

A. \(m < 1\)

B. \(m \le 4 – 3\sqrt 2 \)

C. \(m \ge 4 + 3\sqrt 2 \)

D. \(4 – 3\sqrt 2 < m < 4 + 3\sqrt 2 \)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là B

Phương pháp giải:

– Hàm số nghịch biến trên \(\left( {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow y’ \le 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y’ = \frac{{ – 2{x^2} + 4\left( {m + 1} \right)x – {m^2} + 2}}{{{{\left( { – x + m + 1} \right)}^2}}}\)

Để hàm số nghịch biến trên \(\left( {2; + \infty } \right) \Rightarrow y’ \le 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

\( \Rightarrow g\left( x \right) = – 2{x^2} + 4\left( {m + 1} \right)x – {m^2} + 2 \le 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

Ta có: \(\Delta ‘ = 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) – 2{m^2} + 4 = 2{\left( {m + 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi m.

Gọi \({x_1} \le {x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(g\left( x \right) = 0\), ta có BXD :

Dựa vào BBT ta thấy : Để \(g\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\) thì \(\left( {2; + \infty } \right) \subset \left( {{x_2}; + \infty } \right)\)\( \Rightarrow {x_1} \le {x_2} \le 2\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} \le 4\\\left( {{x_1} – 2} \right)\left( {{x_2} – 2} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} \le 4\\{x_1}{x_2} – 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 \ge 0\end{array} \right.\).

Áp dụng định lí Vi-ét ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = \frac{{{m^2} – 2}}{2}\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {m + 1} \right) \le 4\\\frac{{{m^2} – 2}}{2} – 4\left( {m + 1} \right) + 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 \le 2\\{m^2} – 2 – 8m – 8 + 8 \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1\\{m^2} – 8m – 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 4 + 3\sqrt 2 \\m \le 4 – 3\sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 4 – 3\sqrt 2 \end{array}\)

Chọn B.