by .
Cho hàm số $h\left( x \right)=\sqrt{{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x-2m\sin x.\cos x}$.Tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số xác định với mọi số thực $x$(trên toàn trục số) là
C. $-\frac{1}{2}\le m\le \frac{1}{2}$.
B. $0\le m\le \frac{1}{2}$.
C. $-\frac{1}{2}\le m\le 0$.
D. $m\le \frac{1}{2}$.
Hướng dẫn
Chọn A.
Xét hàm số $g\left( x \right)={{\left( {{\sin }^{2}}x \right)}^{2}}+{{\left( {{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}-m\sin 2x$
$={{\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x-m\sin 2x$
$=1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x-m\sin 2x$.
Đặt $t=\sin 2x$$\Rightarrow t\in \left[ -1;1 \right]$.
Hàm số $h\left( x \right)$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$$\Leftrightarrow g\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$$\Leftrightarrow -\frac{1}{2}{{t}^{2}}-mt+1\ge 0,\forall t\in \left[ -1;1 \right]$
$\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2mt-2\le 0,\forall t\in \left[ -1;1 \right]$.
Đặt $f\left( t \right)={{t}^{2}}+2mt-2$ trên $\left[ -1;1 \right]$.
Đồ thị hàm số có thể là một trong ba đồ thị trên.
Ta thấy $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)=f\left( 1 \right)$ hoặc $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)=f\left( -1 \right)$
Ycbt $f\left( t \right)={{t}^{2}}+2mt-2\le 0,\forall t\in \left[ -1;1 \right]\Leftrightarrow \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)\le 0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& f\left( 1 \right)\le 0 \\
& f\left( -1 \right)\le 0 \\
\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& -1+2m\le 0 \\
& -1-2m\le 0 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow -\frac{1}{2}\le m\le \frac{1}{2}$.
