by Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\) thỏa mãn \(f’\left( x \right) = \frac{2}{{2x – 1}}\), \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f\left( 1 \right) = 2\). Giá trị của biểu thức \(f\left( { – 1} \right) + f\left( 3 \right)\) bằng:
A. \(4 + \ln 15\)
B. \(2 + \ln 15\)
C. \(3 + \ln 15\)
D. \(\ln 15\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
– Sử dụng công thức \(f\left( x \right) = \int {f’\left( x \right)dx} \).
– Phá trị tuyệt đối, tìm hằng số \(C\) trong từng trường hợp.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(f’\left( x \right) = \frac{2}{{2x – 1}}\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) = \int {\frac{2}{{2x – 1}}dx} = \ln \left| {2x – 1} \right| + C\)\( = \left[ \begin{array}{l}\ln \left( {2x – 1} \right) + {C_1}\,\,\,khi\,\,x \ge \frac{1}{2}\\\ln \left( {1 – 2x} \right) + {C_2}\,\,\,khi\,\,x < \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
Với \(x = 0\) ta có \(f\left( 0 \right) = \ln 1 + {C_2} = 1\)\( \Rightarrow {C_2} = 1\).
Với \(x = 1\) ta có \(f\left( 1 \right) = \ln 1 + {C_1} = 2 \Rightarrow {C_1} = 2\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right) = \left[ \begin{array}{l}\ln \left( {2x – 1} \right) + 2\,\,\,khi\,\,x \ge \frac{1}{2}\\\ln \left( {1 – 2x} \right) + 1\,\,\,khi\,\,x < \frac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow f\left( { – 1} \right) = \ln 3 + 1;\,\,f\left( 3 \right) = \ln 5 + 2\\ \Rightarrow f\left( { – 1} \right) + f\left( 3 \right) = \ln 3 + \ln 5 + 3 = 3 + ln15\end{array}\)
Chọn C.
