Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1;1} \right\}\) thỏa mãn \(f’\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} – 1}}\). Biết \(f\left( 3 \right) + f\left( { – 3} \right) = 4\) và \(f\left( {\frac{1}{3}} \right) + f\left( { – \frac{1}{3}} \right) = 2\). Giá trị của biểu thức \(f\left( { – 5} \right) + f\left( 0 \right) + f\left( 2 \right)\) bằng:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1;1} \right\}\) thỏa mãn \(f’\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} – 1}}\). Biết \(f\left( 3 \right) + f\left( { – 3} \right) = 4\) và \(f\left( {\frac{1}{3}} \right) + f\left( { – \frac{1}{3}} \right) = 2\). Giá trị của biểu thức \(f\left( { – 5} \right) + f\left( 0 \right) + f\left( 2 \right)\) bằng:

A. \(5 – \frac{1}{2}\ln 2\)

B. \(6 – \frac{1}{2}\ln 2\)

C. \(5 + \frac{1}{2}\ln 2\)

D. \(6 + \frac{1}{2}\ln 2\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức giải nhanh: \(\int\limits_{}^{} {\frac{{dx}}{{\left( {x – a} \right)\left( {x – b} \right)}}} = \frac{1}{{a – b}}\ln \left| {\frac{{x – a}}{{x – b}}} \right| + C\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {f’\left( x \right)dx} = \int\limits_{}^{} {\frac{{dx}}{{{x^2} – 1}}} = \int\limits_{}^{} {\frac{{dx}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x – 1}}{{x + 1}}} \right| + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{2}\ln \frac{{x – 1}}{{x + 1}} + {C_1}\,\,khi\,\,x \ge 1\,\, \vee \,\,x \le – 1\\\frac{1}{2}\ln \frac{{1 – x}}{{x + 1}} + {C_2}\,\,khi\,\, – 1 \le x \le 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}f\left( 3 \right) + f\left( { – 3} \right) = 4\\f\left( {\frac{1}{3}} \right) + f\left( { – \frac{1}{3}} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}\ln \frac{1}{2} + {C_1} + \frac{1}{2}\ln 2 + {C_1} = 4\\\frac{1}{2}\ln \frac{1}{2} + {C_2} + \frac{1}{2}\ln 2 + {C_2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{C_1} = 2\\{C_2} = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{2}\ln \frac{{x – 1}}{{x + 1}} + 2\,\,khi\,\,x \ge 1\,\, \vee \,\,x \le – 1\\\frac{1}{2}\ln \frac{{1 – x}}{{x + 1}} + 1\,\,khi\,\, – 1 \le x \le 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow f\left( { – 5} \right) + f\left( 0 \right) + f\left( 2 \right) = \frac{1}{2}\ln \frac{3}{2} + 2 + \frac{1}{2}\ln 1 + 1 + \frac{1}{2}\ln \frac{1}{3} + 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}\ln \frac{1}{2} + 5 = 5 – \frac{1}{2}\ln 2\end{array}\)

Chọn A.