by Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} – \left( {2m + 3} \right){x^3} + \left( {m + 5} \right){x^2} \)\(+ \left( {5m – 1} \right)x + 2m – 9\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) thuộc \(\left[ { – 9;5} \right]\) để hàm số \(y = \left| {f\left( {x + 2020} \right) – 1} \right|\) có số cực trị nhiều nhất.
A. \(8\)
B. \(9\)
C. \(10\)
D. \(11\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
Số điểm cực trị của hàm \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) với \(f\left( x \right)\) là hàm đa thức = số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) + số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) với trục hoành.
Lời giải chi tiết:
Để hàm số \(y = \left| {f\left( {x + 2020} \right) – 1} \right|\) có số cực trị nhiều nhất thì phương trình \(f\left( {x + 2020} \right) – 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( {x + 2020} \right) = 1\) có 4 nghiệm phân biệt.
Đặt \(t = x + 2020\), phương trình trở thành \(f\left( t \right) = 1\).
Ta có: \(f\left( t \right) = 1 \Leftrightarrow {t^4} – \left( {2m + 3} \right){t^3} + \left( {m + 5} \right){t^2} + \left( {5m – 1} \right)t + 2m – 9 = 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t^4} – \left( {2m + 3} \right){t^3} + \left( {m + 5} \right){t^2} + \left( {5m – 1} \right)t + 2m – 10 = 0\\ \Leftrightarrow {t^4} – 3{t^3} + 5{t^2} – t – 10 = 2m{t^3} – m{t^2} – 5mt – 2m\\ \Leftrightarrow {t^4} – 3{t^3} + 5{t^2} – t – 10 = m\left( {2{t^3} – {t^2} – 5t – 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {t – 2} \right)\left( {{t^2} – 2t + 5} \right) = m\left( {t + 1} \right)\left( {t – 2} \right)\left( {2t + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {t – 2} \right)\left[ {{t^2} – 2t + 5 – m\left( {2t + 1} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {t – 2} \right)\left[ {{t^2} – 2\left( {m + 1} \right)t – m + 5} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = – 1\\t = 2\\g\left( t \right) = {t^2} – 2\left( {m + 1} \right)t – m + 5 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Để phương trình \(f\left( {x + 2020} \right) = 1\) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình \(f\left( t \right) = 1\) có 4 nghiệm \(t\) phân biệt, khi đó phương trình (*) cần có 2 nghiệm phân biệt khác \( – 1,\,\,2\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ‘ > 0\\g\left( { – 1} \right) \ne 0\\g\left( 2 \right) \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 1} \right)^2} – \left( { – m + 5} \right) > 0\\1 + 2\left( {m + 1} \right) – m + 5 \ne 0\\4 – 4\left( {m + 1} \right) – m + 5 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 3m – 4 > 0\\m + 8 \ne 0\\ – 5m + 5 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < – 4\end{array} \right.\\m \ne – 8\\m \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < – 4\end{array} \right.\\m \ne – 8\end{array} \right.\end{array}\)
Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow m \in \left[ { – 9; – 4} \right) \cup \left( {1;5} \right]\backslash \left\{ { – 8} \right\}\).
Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { – 9; – 7; – 6; – 5;2;3;4;5} \right\}\).
Vậy có 8 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn A.
