Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \({\left[ {f’\left( x \right)} \right]^2} + f\left( x \right).f”\left( x \right) = {x^3} – 2x\;\;\forall x \in R\) và \(f\left( 0 \right) = f’\left( 0 \right) = 2.\) Tính giá trị của \(T = {f^2}\left( 2 \right).\)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \({\left[ {f’\left( x \right)} \right]^2} + f\left( x \right).f”\left( x \right) = {x^3} – 2x\;\;\forall x \in R\) và \(f\left( 0 \right) = f’\left( 0 \right) = 2.\) Tính giá trị của \(T = {f^2}\left( 2 \right).\)

A. \(\frac{{268}}{{15}}\)

B. \(\frac{{160}}{{15}}\)

C. \(\frac{{268}}{{30}}\)

D. \(\frac{4}{{15}}\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Phương pháp giải:

+) Dựa vào phương trình đã cho của bài toán ta có thể thấy: \(VT = \left[ {f\left( x \right).f’\left( x \right)} \right]’.\)

+) Lấy nguyên hàm hai vế và dựa vào giả thiết bài toán để làm tiếp.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(VT = \left[ {f\left( x \right).f’\left( x \right)} \right]’ = f’\left( x \right).f’\left( x \right) + f\left( x \right).f”\left( x \right) = {\left[ {f’\left( x \right)} \right]^2} + f\left( x \right).f”\left( x \right)\)

\( \Rightarrow \left[ {f’\left( x \right).f\left( x \right)} \right]’ = {x^3} – 2x\;\;\;\left( * \right)\)

Nguyên hàm hai vế của \(\left( * \right)\) ta được: \(f’\left( x \right).f\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} – {x^2} + C.\;\;\left( 1 \right)\)

Lại có: \(f’\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow C = 2.2 = 4.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( x \right).f’\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} – {x^2} + 4\\ \Rightarrow \int {f\left( x \right)f’\left( x \right)dx = \int {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – {x^2} + 4} \right)} } dx \Leftrightarrow \int {f\left( x \right)df\left( x \right) = \frac{{{x^5}}}{{20}} – \frac{{{x^3}}}{3} + 4x + A} \\ \Leftrightarrow \frac{{{f^2}\left( x \right)}}{2} = \frac{{{x^5}}}{{20}} – \frac{{{x^3}}}{3} + 4x + A \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) = \frac{{{x^5}}}{{10}} – \frac{{2{x^3}}}{3} + 8x + 2A.\end{array}\)

Có \(f\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow 4 = 2A \Leftrightarrow A = 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {f^2}\left( x \right) = \frac{{{x^5}}}{{10}} – \frac{{2{x^3}}}{3} + 8x + 4\\ \Rightarrow {f^2}\left( 2 \right) = \frac{{{2^5}}}{{10}} – \frac{{{{2.2}^3}}}{3} + 8.2 + 4 = \frac{{268}}{{15}}.\end{array}\)

Chọn A.