Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 3\) và \(x\left( {4 – f’\left( x \right)} \right) = f\left( x \right) – 1\) với mọi \(x > 0.\) Tính \(f\left( 2 \right).\)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 3\) và \(x\left( {4 – f’\left( x \right)} \right) = f\left( x \right) – 1\) với mọi \(x > 0.\) Tính \(f\left( 2 \right).\)

A. \(5\)

B. \(3\)

C. \(6\)

D. \(2\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Phương pháp giải:

Biến đổi giả thiết rồi lấy nguyên hàm hai vế để tìm được \(f\left( x \right).\) Lưu ý rằng \(\int {f’\left( x \right)dx} = f\left( x \right) + C\)

Từ đó tính \(f\left( 2 \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,x\left( {4 – f’\left( x \right)} \right) = f\left( x \right) – 1 \Leftrightarrow 4x – xf’\left( x \right) = f\left( x \right) – 1\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) + xf’\left( x \right) = 4x + 1 \Leftrightarrow {\left( {xf\left( x \right)} \right)^\prime } = 4x + 1\end{array}\)

Lấy nguyên hàm hai vế theo \(x\) ta được \(xf\left( x \right) = 2{x^2} + x + C\)

Mà \(f\left( 1 \right) = 3\) nên ta có \(1.f\left( 1 \right) = {2.1^2} + 1 + C \Leftrightarrow 3 = 3 + C \Rightarrow C = 0\)

Từ đó \(xf\left( x \right) = 2{x^2} + x \Rightarrow f\left( x \right) = 2x + 1\,\,\,\left( {do\,x > 0} \right)\)

Suy ra \(f\left( 2 \right) = 2.2 + 1 = 5.\)

Chọn A.