by Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{ax – 1}}{{bx + c}}\,\left( {a,b,c \in \mathbb{R}} \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. \(\left[ \begin{array}{l}b > \frac{2}{3}\\b < 0\end{array} \right.\).
B. \(0 < b < \frac{1}{6}\).
C. \(0 < b < \frac{2}{3}\).
D. \(\left[ \begin{array}{l}b > \frac{1}{6}\\b < 0\end{array} \right.\).
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
– Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\,\left( {ad \ne bc} \right)\) có đường tiệm cận ngang \(y = \frac{a}{c}\), tiệm cận đứng \(x = – \frac{d}{c}\). Từ đó biểu diễn a và c theo b.
– Dựa vào chiều biến thiên của đồ thị hàm số, suy ra 1 bất phương trình ẩn b và giải bất phương trình.
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\).
Dựa vào BBT, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} f\left( x \right) = – \infty \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{b} = \frac{1}{2}\\ – \frac{c}{b} = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{b}{2}\\c = – 3b\end{array} \right.\)
Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{{ax – 1}}{{bx + c}}\, \Rightarrow f’\left( x \right) = \frac{{ac + b}}{{{{\left( {bx + c} \right)}^2}}}\).
Dựa vào BBT ta thấy \(f’\left( x \right) < 0\,\,\,\forall x \ne 3 \Leftrightarrow ac + b < 0\,\,\forall x \ne 3\)\( \Leftrightarrow \frac{b}{2}.\left( { – 3b} \right) + b < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b < 0\\b > \frac{2}{3}\end{array} \right.\).
Chọn A.
