Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f’\left( x \right) – 2018f\left( x \right) = 2018.{x^{2017}}.{e^{2018x}}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\); \(f\left( 0 \right) = 2018\). Giá trị của \(f\left( 1 \right)\) là

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f’\left( x \right) – 2018f\left( x \right) = 2018.{x^{2017}}.{e^{2018x}}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\); \(f\left( 0 \right) = 2018\). Giá trị của \(f\left( 1 \right)\) là

A. \(f\left( 1 \right) = 2018{e^{ – 2018}}\)

B. \(f\left( 1 \right) = 2019{e^{ – 2018}}\)

C. \(f\left( 1 \right) = 2018{e^{2018}}\)

D. \(f\left( 1 \right) = 2019{e^{2018}}\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là D

Phương pháp giải:

– Nhân cả hai vế với \({e^{ – 2018x}}\) và lấy nguyên hàm hai vế.

– Sử dụng điều kiện \(f\left( 0 \right) = 2018\) tìm hàm \(f\left( x \right)\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}f’\left( x \right) – 2018f\left( x \right) = 2018{x^{2017}}{e^{2018x}} \Leftrightarrow f’\left( x \right){e^{ – 2018x}} – 2018{e^{ – 2018x}}f\left( x \right) = 2018{x^{2017}}\\ \Rightarrow \left[ {f\left( x \right){e^{ – 2018x}}} \right]’ = \left( {{x^{2018}}} \right)’ \Rightarrow \int {\left[ {f\left( x \right){e^{ – 2018x}}} \right]’dx} = \int {\left( {{x^{2018}}} \right)’dx} \Rightarrow f\left( x \right){e^{ – 2018x}} = {x^{2018}} + C\end{array}\)

Do \(f\left( 0 \right) = 2018 \Rightarrow f\left( 0 \right).{e^0} = C \Leftrightarrow C = 2018\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right) = {x^{2018}}{e^{2018x}} + 2018{e^{2018x}}\\ \Rightarrow f\left( 1 \right) = {e^{2018}} + 2018{e^{2018}} = 2019{e^{2018}}.\end{array}\)

Chọn D.