Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên sau Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(f\left( {2\tan x} \right) = 2m + 1\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\)?

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên sau

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(f\left( {2\tan x} \right) = 2m + 1\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\)?

A. \( – 1 \le m \le \frac{1}{2}\).

B. \( – 1 < m < \frac{1}{2}\).

C. \(m \le 1\).

D. \( – 1 < m < 1\).

Hướng dẫn

Chọn đáp án là D

Phương pháp giải:

– Đặt ẩn phụ \(t = 2\tan x\), tìm khoảng giá trị của t ứng với \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\).

– Số nghiệm của phương trình \(f\left( t \right) = 2m + 1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = 2m + 1\) song song với trục hoành.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = 2\tan x\), với \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\) thì \(\tan x \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;2} \right)\).

Khi đó phương trình trở thành: \(f\left( t \right) = 2m + 1\), số nghiệm của phương trình \(f\left( t \right) = 2m + 1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = 2m + 1\) song song với trục hoành.

Quan sát BBT trên khoảng (0;2), ta thấy, phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow – 1 < 2m + 1 < 3 \Leftrightarrow – 1 < m < 1\).

Chọn D.