by Cho hàm số \(f\left( x \right)\). Biết \(f\left( 0 \right) = 4\) và \(f’\left( x \right) = 2{\sin ^2}x + 3\), \(\forall x \in \mathbb{R}\), khi đó \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)} dx\) bằng
A. \(\frac{{{\pi ^2} – 2}}{8}\).
B. \(\frac{{{\pi ^2} + 8\pi – 8}}{8}\).
C. \(\frac{{{\pi ^2} + 8\pi – 2}}{8}\).
D.
\(\frac{{3{\pi ^2} + 2\pi – 3}}{8}\).
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
+) Tính \(f\left( x \right) = \int {f’\left( x \right)dx} \).
+) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để tính \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)} dx\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(f’\left( x \right) = 2{\sin ^2}x + 3 = 1 – \cos 2x + 3 = 4 – \cos 2x\).
\( \Rightarrow f\left( x \right) = \int {f’\left( x \right)dx} = \int {\left( {4 – \cos 2x} \right)dx} = 4x – \frac{1}{2}\sin 2x + C\)
Theo giả thiết có \(f\left( 0 \right) = 4 \Leftrightarrow 4.0 – \frac{1}{2}\sin 0 + C = 4 \Leftrightarrow C = 4\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right) = 4x – \frac{1}{2}\sin 2x + 4\\ \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {4x – \frac{1}{2}\sin 2x + 4} \right)dx} \\ = \left. {\left( {2{x^2} + \frac{1}{4}\cos 2x + 4x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = 2\frac{{{\pi ^2}}}{{16}} + \pi – \frac{1}{4} = \frac{{{\pi ^2} + 8\pi – 2}}{8}\end{array}\).
Chọn C
