by Cho hàm số \(f\left( x \right)\). Biết hàm số \(y = f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Trên đoạn \(\left[ { – 4;3} \right]\), hàm số \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) + {\left( {1 – x} \right)^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm:
A. \({x_0} = – 4\)
B. \({x_0} = – 1\)
C. \({x_0} = 3\)
D. \({x_0} = – 3\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
– Tính \(g’\left( x \right)\) và tìm nghiệm của \(g’\left( x \right) = 0\) trong đoạn \(\left[ { – 4;3} \right]\).
– Tính giá trị của hàm số \(y = g\left( x \right)\) tại các điểm \( – 4;3\) và các điểm làm cho \(g’\left( x \right) = 0\).
– So sánh các giá trị trên và kết luận GTNN.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(g’\left( x \right) = 2f’\left( x \right) – 2\left( {1 – x} \right) = 2\left[ {f’\left( x \right) – 1 + x} \right]\).
\(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) = 1 – x\).
Từ hình vẽ ta thấy, trên đoạn \(\left[ { – 4;3} \right]\) thì đường thẳng \(y = 1 – x\) cắt đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) tại \(3\) điểm lần lượt có hoành độ \( – 4; – 1;3\) nên ta so sánh các giá trị \(g\left( { – 4} \right),g\left( { – 1} \right),g\left( 3 \right)\).
Ta thấy: \({S_1} = \int\limits_{ – 4}^{ – 1} {\left[ {1 – x – f’\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_{ – 4}^{ – 1} {\left[ { – g’\left( x \right)} \right]dx} = g\left( { – 4} \right) – g\left( { – 1} \right) > 0 \Rightarrow g\left( { – 4} \right) > g\left( { – 1} \right)\).
\({S_2} = \int\limits_{ – 1}^3 {\left[ {f’\left( x \right) – 1 + x} \right]dx} = \int\limits_{ – 1}^3 {\left[ {g’\left( x \right)} \right]dx} = g\left( 3 \right) – g\left( { – 1} \right) > 0 \Rightarrow g\left( 3 \right) > g\left( { – 1} \right)\).
Do đó \(g\left( { – 1} \right)\) là GTNN của hàm số \(y = g\left( x \right)\) hay hàm số đạt GTNN tại \({x_0} = – 1\).
Chọn B
