by Cho hai số thực b ;c (c > 0). Kí hiệu A, B là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai nghiệm của phương trình \({{z}^{2}}+2bz+c=0\), tìm điều kiện của b và c sao cho tam giác OAB là tam giác vuông (với O là gốc tọa độ).
A.
\(c = b\)
B.
\(c={{b}^{2}}\)
C.
\(c=2{{b}^{2}}\)
D. \({{b}^{2}}=2c\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
+) Nếu \(z\) là một nghiệm phức của phương trình bậc hai thì \(\overline{z}\) cũng là nghiệm của phương trình bậc hai đó.
+) Tìm hai nghiệm phức của phương trình bậc hai đã cho.
+) Xác định các điểm biểu diễn A, B.
+) \(\Delta OAB\) vuông tại \(O\Rightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\Delta ‘={{b}^{2}}-c<0\Leftrightarrow {{b}^{2}}<C\)
Gọi \(z=x+yi\) la 1 nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}+2bz+c=0\Rightarrow \overline{z}=x-yi\) cũng là một nghiệm của phương trình.
Ta có
\(\begin{array}{l}z + \overline z = 2x = – 2b \Leftrightarrow x = – b\\z.\overline z = {x^2} + {y^2} = c \Leftrightarrow y = \pm \sqrt {c – {b^2}} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = – b + \sqrt {c – {b^2}} i \Rightarrow A\left( { – b;\sqrt {c – {b^2}} } \right)\\\overline z = – b – \sqrt {c – {b^2}} i \Rightarrow B\left( { – b; – \sqrt {c – {b^2}} } \right)\end{array} \right.\\OA \bot OB \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0 \Leftrightarrow {b^2} – \left( {c – {b^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2{b^2} – c = 0 \Leftrightarrow c = 2{b^2}\end{array}\)
Chọn C.
