by Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx – 1\) và \(g\left( x \right) = d{x^2} + ex + \frac{1}{2}\,\,\left( {a,b,c,d,e \in R} \right)\). Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là \( – 3; – 1;2\) (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
A. \(\frac{{253}}{{12}}\)
B. \(\frac{{125}}{{12}}\)
C. \(\frac{{253}}{{48}}\)
D. \(\frac{{125}}{{48}}\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right);\,\,y = g\left( x \right);\,\,x = a;\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|dx} \)
Lời giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm
\(\begin{array}{l}a{x^3} + b{x^2} + cx – 1 = d{x^2} + ex + \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow a{x^3} + \left( {b – d} \right){x^2} + \left( {c – e} \right)x – \frac{3}{2} = 0\end{array}\)
Dễ thấy phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt \( – 3; – 1;2\) nên
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow a{x^3} + \left( {b – d} \right){x^2} + \left( {c – e} \right)x – \frac{3}{2} = a\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)\\ \Leftrightarrow a{x^3} + \left( {b – d} \right){x^2} + \left( {c – e} \right)x – \frac{3}{2} = a{x^3} + 2a{x^2} – 5ax + 6a\end{array}\)
Đồng nhất hệ số ta được:
\( – \frac{3}{2} = 6a \Leftrightarrow a = – \frac{1}{4} \Rightarrow f\left( x \right) – g\left( x \right) = – \frac{1}{4}\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \int\limits_{ – 3}^{ – 1} {\left| { – \frac{1}{4}\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)} \right|dx} + \int\limits_{ – 1}^2 {\left| { – \frac{1}{4}\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)} \right|dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{4}.\frac{{16}}{3} + \frac{1}{4}.\frac{{63}}{4} = \frac{{253}}{{48}}\end{array}\)
Chọn C.
