by Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\ln x\) thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = \frac{3}{4}\). Tìm \(F\left( x \right)\).
A. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2}\ln x – \frac{{{x^2}}}{4} + 1\).
B. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2}\ln x – \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{1}{2}\).
C. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2}\ln x + \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{1}{2}\).
D. \(F\left( x \right) = {x^2}\ln x – \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{4}\).
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
– Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần: \(\int\limits_{}^{} {udv} = uv – \int\limits_{}^{} {vdu} \).
– Thay \(F\left( 1 \right) = \frac{3}{4}\) tính hằng số C, từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số.
Lời giải chi tiết:
\(F\left( x \right) = \int {x\ln x} dx\).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = xdx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v = \frac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2}.\ln x – \int {\frac{{{x^2}}}{2}.\frac{{dx}}{x}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{{x^2}}}{2}\ln x – \frac{1}{2}\int {xdx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{{x^2}}}{2}\ln x – \frac{{{x^2}}}{4} + C\\F\left( 1 \right) = \frac{3}{4} \Leftrightarrow – \frac{1}{4} + C = \frac{3}{4} \Leftrightarrow C = 1\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2}\ln x – \frac{{{x^2}}}{4} + 1\end{array}\)
Chọn A.
