Cho \(F\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f\left( x \right)}}{x}\). Tìm nguyên hàm của hàm số \(f’\left( x \right)\ln x\).

Cho \(F\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f\left( x \right)}}{x}\). Tìm nguyên hàm của hàm số \(f’\left( x \right)\ln x\).

A. \(\int {f’\left( x \right)\ln xdx} = \frac{{\ln x}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}} + C\)

B. \(\int {f’\left( x \right)\ln xdx} = – \left( {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{2{x^2}}}} \right) + C\)

C. \(\int {f’\left( x \right)\ln xdx} = – \left( {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + C\)

D. \(\int {f’\left( x \right)\ln xdx} = \frac{{\ln x}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{2{x^2}}} + C\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là B

Phương pháp giải:

– \(F\left( x \right)\) là 1 nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow F’\left( x \right) = f\left( x \right)\).

– Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần \(\int {udv} = uv – \int {vdu} \).

Lời giải chi tiết:

\(F\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f\left( x \right)}}{x}\) nên \(\int {\frac{{f\left( x \right)}}{x}dx} = \frac{1}{{2{x^2}}}\).

Và \(\left( {\frac{1}{{2{x^2}}}} \right)’ = \frac{{f\left( x \right)}}{x} \Leftrightarrow – \frac{{4x}}{{4{x^4}}} = \frac{{f\left( x \right)}}{x}\) \( \Leftrightarrow f\left( x \right) = – \frac{1}{{{x^2}}}\).

\(I = \int {f’\left( x \right)\ln xdx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = f’\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = f\left( x \right)\ln x – \int {\frac{{f\left( x \right)dx}}{x}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = – \frac{1}{{{x^2}}}\ln x – \frac{1}{{2{x^2}}} + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = – \left( {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{2{x^2}}}} \right) + C\end{array}\)

Chọn B.