by Cho đường cong \(\left( C \right):y=\frac{3x-1}{x-2}\) . Có bao nhiêu điểm trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ điển đó đến 2 đường tiệm cận của (C) bằng 6 ?
A. 4
B. 2
C. 0
D. 6
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
Dùng định nghĩa để tìm tiệm cận. Từ đó tính khoảng cách từ điểm \(M\) tới hai tiệm cận rồi thay vào yêu cầu của bài toán để đưa ra một phương trình theo ẩn \({{x}_{0}}\) và giải phương trình này tìm \({{x}_{0}}.\)
Lời giải chi tiết:
Làm tương tự câu 2 ta tìm được tiệm cận đứng là \({{d}_{1}}:x=2,\) tiệm cận ngang là \({{d}_{2}}:y=3.\) Giả sử \(M\left( {{x}_{0}};\frac{3{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}-2} \right).\) Khi đó ta tính được các khoảng cách \(d\left( M;{{d}_{1}} \right)=\left| {{x}_{0}}-2 \right|,\,\,d\left( M;{{d}_{2}} \right)=\left| \frac{3{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}-2}-3 \right|=\left| \frac{5}{{{x}_{0}}-2} \right|.\)
Do đó
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,d\left( {M;{d_1}} \right) + d\left( {M;{d_2}} \right) = 6 \Leftrightarrow \left| {{x_0} – 2} \right| + \frac{5}{{\left| {{x_0} – 2} \right|}} = 6 \Leftrightarrow {\left| {{x_0} – 2} \right|^2} – 6\left| {{x_0} – 2} \right| + 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\left| {{x_0} – 2} \right| – 1} \right)\left( {\left| {{x_0} – 2} \right| – 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {{x_0} – 2} \right| = 1\\\left| {{x_0} – 2} \right| = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = 3\\{x_0} = – 3\\{x_0} = 7\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( {1; – 2} \right)\\B\left( {3;8} \right)\\C\left( { -3;2} \right)\\D\left( {7;4} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
Chọn đáp án A.
