by Hàm số \(y=\frac{2x-1}{x-1}\left( H \right)\) . M là một điểm bất kỳ và \(M\in \left( H \right)\). Tiếp tuyến với (H) tại M tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích bằng:
A. 4
B. 5
C. 3
D. 2
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
Dùng định nghĩa để tìm tiệm cận. Dùng công thức \(y-f\left( {{x}_{0}} \right)=f’\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)\) để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(y=f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \({{x}_{0}}.\) Tìm giao điểm của tiệm cận và tiếp tuyến. Từ đó tính diện tích tam giác tạo thành.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1}{x-1}=+\infty \) nên \({{d}_{1}}:x=1\) là tiệm cận đứng của \(\left( H \right).\)
Ta cũng có \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1}{x-1}=2,\) nên \({{d}_{2}}:y=2\) là tiệm cận ngang của \(\left( H \right).\)
Giả sử \(M\left( {{x}_{0}};\frac{2{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}-1} \right).\) Ta có \(y’\left( x \right)=-\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}},\) phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\) có dạng
\(y-y\left( {{x}_{0}} \right)=y’\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)\Leftrightarrow y=-\frac{1}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{2{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}-1}\,\,\left( {{d}_{3}} \right).\)
Ta tìm được \({{d}_{1}}\cap {{d}_{3}}=B\left( 1;\frac{2{{x}_{0}}}{{{x}_{0}}-1} \right),{{d}_{2}}\cap {{d}_{3}}=A\left( 2{{x}_{0}}-1;2 \right).\) Giả sử \(I={{d}_{1}}\cap {{d}_{2}}\Rightarrow I\left( 1;2 \right).\) Tam giác tạo thành là tam giác vuông \(IAB\) vuông tại \(I.\) Ta tính được \(\overrightarrow{IA}=\left( 2{{x}_{0}}-2;0 \right),\,\overrightarrow{IB}=\left( 0;\frac{2}{{{x}_{0}}-1} \right)\Rightarrow IA=2\left| {{x}_{0}}-1 \right|,\,\,IB=\left| \frac{2}{{{x}_{0}}-1} \right|.\)
Diện tích tam giác \(IAB\) là \(S=\frac{1}{2}IA.IB=\frac{1}{2}.2\left| {{x}_{0}}-1 \right|.\left| \frac{2}{{{x}_{0}}-1} \right|=2.\)
Chọn đáp án D.
