Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị hàm số \(f’\left( x \right)\) như hình bên dưới. Đặt \(g\left( x \right) = f\left( x \right) – x\), khẳng định nào sau đây đúng?

Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị hàm số \(f’\left( x \right)\) như hình bên dưới.

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( x \right) – x\), khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(g\left( 2 \right) < g\left( { – 1} \right) < g\left( 1 \right).\)

B. \(g\left( { – 1} \right) > g\left( 1 \right) > g\left( 2 \right)\)

C. \(g\left( 1 \right) < g\left( { – 1} \right) < g\left( 2 \right).\)

D. \(g\left( 2 \right) > g\left( 1 \right) > g\left( { – 1} \right)\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là B

Phương pháp giải:

– Tính đạo hàm \(g’\left( x \right)\).

– Dựa vào tương giao đồ thị hàm số để giải phương trình \(g’\left( x \right) = 0\).

– Lập BBT hàm số và so sánh các giá trị.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(g\left( x \right) = f\left( x \right) – x \Rightarrow g’\left( x \right) = f’\left( x \right) – 1\).

Xét phương trình \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) – 1 = 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) = 1\). Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 1\).

Vẽ đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) và \(y = 1\) trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\).

Ta có BBT hàm số \(y = g\left( x \right)\) như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(g\left( { – 1} \right) > g\left( 1 \right) > g\left( 2 \right)\).

Chọn B.