by Cho ba số a, b, c dương. Chứng tỏ rằng \(M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\) không là số nguyên.
Phương pháp giải:
Chứng minh giá trị của M nhỏ hơn và lớn hơn 2 số nguyên dương liên tiếp \(\Rightarrow \) M không phải số nguyên.
Ta có:
\(\begin{align} & \frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c} \\ & \frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c} \\ & \frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c} \\ \end{align}\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\left( =\frac{a+b+c}{a+b+c}=1 \right)\) (1)
Lại có:
\(\begin{align}& \frac{a}{a+b}<\frac{a+c}{a+b+c} \\ & \frac{b}{b+c}<\frac{b+a}{a+b+c} \\ & \frac{c}{c+a}<\frac{c+b}{a+b+c} \\ \end{align}\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<\frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}\left( =\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2 \right)\) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2\)
\(\Rightarrow \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\) không phải là số nguyên (đpcm).
