by Cho đường thẳng \(y = 3x\) và parabol \(y = 2{x^2} + a\) (\(a\) là tham số thực dương). Gọi \({S_1}\) và \({S_2}\) lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi \({S_1} = {S_2}\) thì \(a\) thuộc khoảng nào dưới đây?
A. \(\left( {\frac{4}{5};\frac{9}{{10}}} \right)\)
B. \(\left( {0;\frac{4}{5}} \right)\)
C. \(\left( {1;\frac{9}{8}} \right)\)
D. \(\left( {\frac{9}{{10}};1} \right)\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
– Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
– Viết công thức tính hai phần diện tích \({S_1},{S_2}\).
– Sử dụng điều kiện \({S_1} = {S_2}\) tìm \(a\).
Lời giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm : \(2{x^2} + a = 3x \Leftrightarrow 2{x^2} – 3x + a = 0\).
Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta = 9 – 8a > 0 \Leftrightarrow a < \frac{9}{8}\).
Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} < {x_2}\).
Ta có : \({S_1} = \int\limits_0^{{x_1}} {\left( {2{x^2} + a – 3x} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{2}{3}{x^3} – \frac{3}{2}{x^2} + ax} \right)} \right|_0^{{x_1}} = \frac{2}{3}x_1^3 – \frac{3}{2}x_1^2 + a{x_1}\)
\({S_2} = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {3x – 2{x^2} – a} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{3}{2}{x^2} – \frac{2}{3}{x^3} – ax} \right)} \right|_{{x_1}}^{{x_2}} = \frac{3}{2}x_2^2 – \frac{2}{3}x_2^3 – a{x_2} – \frac{3}{2}x_1^2 + \frac{2}{3}x_1^3 + a{x_1}\)
Do \({S_1} = {S_2}\) nên \(\frac{2}{3}x_1^3 – \frac{3}{2}x_1^2 + a{x_1} = \frac{3}{2}x_2^2 – \frac{2}{3}x_2^3 – a{x_2} – \frac{3}{2}x_1^2 + \frac{2}{3}x_1^3 + a{x_1}\)
\( \Leftrightarrow \frac{3}{2}x_2^2 – \frac{2}{3}x_2^3 – a{x_2} = 0 \Leftrightarrow 9x_2^2 – 4x_2^3 – 6a{x_2} = 0\,\,\left( 1 \right)\)
Lại có \(2x_2^2 – 3{x_2} + a = 0 \Leftrightarrow a = 3{x_2} – 2x_2^2\) thay vào \(\left( 1 \right)\) được :
\(9x_2^2 – 4x_2^3 – 6\left( {3{x_2} – 2x_2^2} \right){x_2} = 0 \Leftrightarrow 8x_2^3 – 9x_2^2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_2} = 0 \Rightarrow a = 0\left( {KTM} \right)\\{x_2} = \frac{9}{8} \Rightarrow a = \frac{{27}}{{32}}\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)
Vậy \(a = \frac{{27}}{{32}} \in \left( {\frac{4}{5};\frac{9}{{10}}} \right)\).
Chọn A.
