Cho \(a + b + c = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\) và \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}\) (với \(a \ne 0;\,\,b \ne 0;\,\,c \ne 0\)). Chứng minh rằng : \({\left( {x + y + z} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}\).

Cho \(a + b + c = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\) và \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}\) (với \(a \ne 0;\,\,b \ne 0;\,\,c \ne 0\)).

Chứng minh rằng : \({\left( {x + y + z} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}\).

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = \frac{{x + y + z}}{{a + b + c}}\)

Theo giả thiết ta có : \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}\).

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = \frac{{x + y + z}}{{a + b + c}}\)\( = \frac{{x + y + z}}{1} = x + y + z\)

Ta có :

\({\left( {x + y + z} \right)^2} = {\left( {\frac{x}{a}} \right)^2} = {\left( {\frac{y}{b}} \right)^2} = {\left( {\frac{z}{c}} \right)^2}\) \( = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}}\)

\( = \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{1}\) \( = {x^2} + {y^2} + {z^2}\)

Vậy \({\left( {x + y + z} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}\) (đpcm).