by Biết số phức thỏa mãn \(\left| {iz – 3} \right| = \left| {z – 2 – i} \right|\)và \(\left| z \right|\) có giá trị nhỏ nhất. Phần thực của số phức z bằng
A. \(\frac{2}{5}.\)
B. \(\frac{1}{5}.\)
C. \( – \frac{2}{5}.\)
D. \( – \frac{1}{5}.\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
– Đặt ẩn \(z = a + bi\), rút a theo b rồi tính.
– Tính \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \), thế \(a\) theo \(b\) và tìm GTNN bằng cách đưa biểu thức về dạng hằng đẳng thức.
Lời giải chi tiết:
Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)\)
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {iz – 3} \right| = \left| {z – 2 – i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {i\left( {a + bi} \right) – 3} \right| = \left| {a + bi – 2 – i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( { – 3 – b} \right) + ai} \right| = \left| {\left( {a – 2} \right) + \left( {b – 1} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {b + 3} \right)^2} + {a^2} = {\left( {a – 2} \right)^2} + {\left( {b – 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {b^2} + 6b + 9 + {a^2} = {a^2} – 4a + 4 + {b^2} – 2b + 1\\ \Leftrightarrow 4a + 8b + 4 = 0\\ \Leftrightarrow a + 2b + 1 = 0\\ \Leftrightarrow a = – 2b – 1\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left( {2b + 1} \right)}^2} + {b^2}} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {5{b^2} + 4b + 1} = \sqrt {5\left( {{b^2} + \frac{4}{5}b} \right) + 1} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {5\left( {{b^2} + 2.b.\frac{2}{5} + \frac{4}{{25}}} \right) – \frac{4}{5} + 1} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {5{{\left( {b + \frac{2}{5}} \right)}^2} + \frac{1}{5}} \ge \frac{{\sqrt 5 }}{5}\end{array}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(b = – \frac{2}{5} \Rightarrow a = – \frac{1}{5}.\)
Vậy \({\mathop{\rm Re}\nolimits} z = a = – \frac{1}{5}\).
Chọn D.
