by Biết rằng \(x{e^x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( { – x} \right)\) trên khoảng \(\left( { – \infty ; + \infty } \right)\). Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f’\left( x \right){e^x}\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 1\), giá trị của \(F\left( { – 1} \right)\) bằng:
A. \(\frac{7}{2}\)
B. \(\frac{{5 – e}}{2}\)
C. \(\frac{{7 – e}}{2}\)
D. \(\frac{5}{2}\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
+) \(x{e^x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( { – x} \right)\) nên \(\left( {x{e^x}} \right)’ = f\left( { – x} \right)\).
+) Từ \(f\left( { – x} \right) \Rightarrow f\left( x \right)\).
+) \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f’\left( x \right){e^x} \Rightarrow F\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {f’\left( x \right){e^x}dx} \).
+) Tính \(F\left( x \right),\) từ đó tính \(F\left( { – 1} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Vì \(x{e^x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( { – x} \right)\) nên \(\left( {x{e^x}} \right)’ = f\left( { – x} \right) \Leftrightarrow f\left( { – x} \right) = {e^x} + x{e^x} = {e^x}\left( {1 + x} \right)\).
\( \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{ – x}}\left( {1 – x} \right)\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f’\left( x \right) = – {e^{ – x}}\left( {1 – x} \right) – {e^{ – x}} = – {e^{ – x}}\left( {2 – x} \right) = \left( {x – 2} \right){e^{ – x}}\\ \Rightarrow f’\left( x \right){e^x} = \left( {x – 2} \right){e^{ – x}}.{e^x} = x – 2\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{}^{} {\left( {x – 2} \right)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} – 2x + C\\F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1 \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} – 2x + 1\\ \Rightarrow F\left( { – 1} \right) = \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^2}}}{2} – 2\left( { – 1} \right) + 1 = \frac{7}{2}\end{array}\)
Chọn A.
