by Biết rằng tồn tại đúng hai giá trị của tham số $m$ để phương trình ${{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+2m+1=0$ có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng, tính tổng bình phương của hai giá trị đó.
C. $\frac{1312}{81}$.
B. $\frac{1024}{81}$.
C. $\frac{32}{9}$.
D. $\frac{1600}{81}$.
Hướng dẫn
Đáp án A.
ÁP dụng kết quả phần lý thuyết, ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng thì điều kiện cần là $9{{b}^{2}}=100ac$ hay
$9{{\left( 2m+2 \right)}^{2}}=100.1.\left( 2m+1 \right)\Leftrightarrow 9{{m}^{2}}-32m-16=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& m=4 \\
& m=-\frac{4}{9} \\
\end{align} \right.$
Với $m=4$, ta có phương trình ${{x}^{4}}-10{{x}^{2}}+9=0$. Phương trình nàu có 4 nghiệm là $-3;-1;1;3$ lập thành cấp số cộng.
Với $m=-\frac{4}{9}$, ta có phương trình $9{{x}^{4}}-10{{x}^{2}}+1=0$. Phương trình này có 4 nghiệm $-1;-\frac{1}{3};\frac{1}{3};1$ lập thành cấp số cộng.
Vậy $m=4;\,m=-\frac{4}{9}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Do đó ${{4}^{2}}+{{\left( -\frac{4}{9} \right)}^{2}}=\frac{1312}{81}$.
