Biết rằng tồn tại đúng ba giá trị ${{m}_{1}},\,{{m}_{2}},\,{{m}_{3}}$ của tham số $m$ để phương trình ${{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+23x+{{m}^{3}}-4{{m}^{2}}+m-9=0$ có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng, tính giá trị của biểu thức $P=m_{1}^{3}+m_{2}^{3}+m_{3}^{3}$.

Biết rằng tồn tại đúng ba giá trị ${{m}_{1}},\,{{m}_{2}},\,{{m}_{3}}$ của tham số $m$ để phương trình ${{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+23x+{{m}^{3}}-4{{m}^{2}}+m-9=0$ có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng, tính giá trị của biểu thức $P=m_{1}^{3}+m_{2}^{3}+m_{3}^{3}$.

C. $P=34$.

B. $P=36$.

C. $P=64$.

D. $P=-34$.

Hướng dẫn

Đáp án A.

Áp dụng kết quả ở phần lý thuyết, ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần là: $-\frac{b}{3a}=-\frac{-9}{3}=3$ là nghiệm của phương trình.

Suy ra ${{3}^{3}}-{{9.3}^{2}}+23.3+{{m}^{3}}-4{{m}^{2}}+m-9=0$

$\Leftrightarrow $ ${{m}^{3}}-4{{m}^{2}}+m+6=0$$\Leftrightarrow m=-1,m=2,m=3$

Với $m=-1,m=2,m=3$ thì ${{m}^{3}}-4{{m}^{2}}+m+6=0$ nên ${{m}^{3}}-4{{m}^{2}}+m-9=-15$.

Do vậy, với $m=-1,m=2,m=3$ ta có phương trình ${{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+23x-15=0\Leftrightarrow \left( x-3 \right)\left( {{x}^{2}}-6x+5 \right)=0$ $\Leftrightarrow x=1,x=3,x=5$.

Ba số 1,3,5 lập thành cấp số cộng.

Vậy $m=-1,m=2,m=3$ là các giá trị cần tìm.

Do đó ${{\left( -1 \right)}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}=34$