Biết rằng \(I = \int\limits_{{\pi \over 3}}^{{\pi \over 6}} {{{\cos x} \over {{{\sin }^2}x}}dx} = {{a + b\sqrt 3 } \over 3}\), với \(a,b \in Z\). Tính \(S = a + 2b\).

Biết rằng \(I = \int\limits_{{\pi \over 3}}^{{\pi \over 6}} {{{\cos x} \over {{{\sin }^2}x}}dx} = {{a + b\sqrt 3 } \over 3}\), với \(a,b \in Z\). Tính \(S = a + 2b\).

A. \(S=-1\)

B. \(S=1\)

C. \(S=-2\)

D. \(S=2\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là C

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sin x\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\), đổi cận \(\left\{ \matrix{ x = {\pi \over 3} \Rightarrow t = {{\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr x = {\pi \over 6} \Rightarrow t = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_{{{\sqrt 3 } \over 2}}^{{1 \over 2}} {{{dt} \over {{t^2}}}} = \left. { – {1 \over t}} \right|_{{{\sqrt 3 } \over 2}}^{{1 \over 2}} = – 2 + {2 \over {\sqrt 3 }} = {{ – 2\sqrt 3 + 2} \over {\sqrt 3 }} = {{ – 6 + 2\sqrt 3 } \over 3} \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = – 6 \hfill \cr b = 2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow a + 2b = – 2\)

Chọn C.