by Biết rằng đường thẳng \(y = m – 3x\)cắt đồ thị \(\left( C \right):\,\,y = \frac{{2x – 1}}{{x – 1}}\) tại 2 điểm phân biệt \(A\)và \(B\) sao cho trọng tâm \(G\) của \(\Delta OAB\) thuộc đồ thị \(\left( C \right)\) với \(O\left( {0;0} \right)\) là gốc tọa độ. Khi đó giá trị thực của tham số \(m\)thuộc tập nào sao đây:
A. \(\left( { – 2;3} \right]\)
B. \(\left( { – \infty ; – 5} \right]\)
C. \(\left( { – 5;2} \right]\)
D. \(\left( {3; + \infty } \right)\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
– Tìm ĐKXĐ.
– Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt.
– Sử dụng định lí Ví-ét: \({x_1} + {x_2} = – \frac{b}{a}\).
– \(G\) là trọng tâm của \(\Delta OAB\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_O}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_O}}}{3}\end{array} \right.\). Tìm tọa độ điểm \(G\) theo \(m\).
– Vì \(G \in \left( C \right)\) nên tọa độ điểm \(G\) thỏa mãn hàm số \(\left( C \right)\), thay tọa độ điểm \(G\) và giải phương trình tìm \(m\).
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(x \ne 1\).
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\frac{{2x – 1}}{{x – 1}} = m – 3x\,\,\left( {x \ne 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {m – 3x} \right).\left( {x – 1} \right) = 2x – 1\\ \Leftrightarrow mx – m – 3{x^2} + 3x = 2x – 1\\ \Leftrightarrow – 3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x – m + 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Để đường thẳng \(y = m – 3x\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,\,\,B\) thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1 \( \Leftrightarrow \Delta > 0\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 1} \right)^2} – 4.\left( { – 3} \right).\left( { – m + 1} \right) > 0\\ – 3 + m + 1 – m + 1 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2m + 1 – 12m + 12 > 0\\ – 1 \ne 0\,\,\forall m\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {m^2} – 10m + 13 > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 5 + 2\sqrt 3 \\m < 5 – 2\sqrt 3 \end{array} \right.\end{array}\)
Gọi \({x_A},\,\,{x_B}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình (*).
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \({x_A} + {x_B} = \frac{{m + 1}}{3}\).
Ta có: \(A,\,\,B\) thuộc đường thẳng \(y = m – 3x\) nên \(A\left( {{x_A};m – 3{x_A}} \right);\,\,B\left( {{x_B};m – 3{x_B}} \right)\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {y_A} + {y_B} = \left( {m – 3{x_A}} \right) + \left( {m – 3{x_B}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2m – 3\left( {{x_A} + {x_B}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2m – \left( {m + 1} \right) = m – 1\end{array}\)
Theo bài ra ta có: \(G\) là trọng tâm của \(\Delta OAB\)nên: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_O}}}{3} = \frac{{m + 1}}{9}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_O}}}{3} = \frac{{m – 1}}{3}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow G\left( {\frac{{m + 1}}{9};\frac{{m – 1}}{3}} \right)\).
Để \(G \in \left( C \right)\) thì \(\frac{{m – 1}}{3} = \frac{{2.\frac{{m + 1}}{9} – 1}}{{\frac{{m + 1}}{9} – 1}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{m – 1}}{3} = \frac{{2m – 7}}{{m – 8}}\\ \Leftrightarrow {m^2} – 9m + 8 = 6m – 21\\ \Leftrightarrow {m^2} – 15m + 29 = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{{15 – \sqrt {109} }}{2}\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = \frac{{15 + \sqrt {109} }}{2}\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(m = \frac{{15 + \sqrt {109} }}{2} \approx 12,72 \in \left( {3; + \infty } \right)\).
Chọn D.
