by Biết rằng đồ thị \(\left( H \right):y = \frac{{{x^2} + 2x + m}}{{x – 2}}\) (với m là tham số thực) có hai điểm cực trị A, B. Hãy tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng AB.
A. \(\frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
B. \(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
C. \(\frac{3}{{\sqrt 5 }}\).
D. \(\frac{1}{{\sqrt 5 }}\).
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
– Tách \(y = \frac{{{x^2} + 2x + m}}{{x – 2}} = x + 4 + \frac{{m + 8}}{{x – 2}}\) và tính \(y’\).
– Phân tích: \(y = f\left( x \right).y’ + g\left( x \right)\), suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là \(y = g\left( x \right)\).
– Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(ax + by + c = 0\) là: \(d\left( {M;d} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}y = \frac{{{x^2} + 2x + m}}{{x – 2}} = x + 4 + \frac{{m + 8}}{{x – 2}}\\ \Rightarrow y’ = 1 – \frac{{m + 8}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}\end{array}\)
Khi đó: \(y = – \left( {x – 2} \right)\left( {1 – \frac{{m + 8}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}} \right) + 2x + 2\)\( \Leftrightarrow y = – \left( {x – 2} \right).y’ + 2x + 2\).
Giả sử \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_1} = – \left( {{x_1} – 2} \right).y’\left( {{x_1}} \right) + 2{x_1} + 2 = 2{x_1} + 2\\{y_2} = – \left( {{x_2} – 2} \right).y’\left( {{x_2}} \right) + 2{x_2} + 2 = 2{x_2} + 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị trên là: \(y = 2x + 2 \Leftrightarrow 2x – y + 2 = 0\,\,\left( d \right)\).
Vậy \(d\left( {O;d} \right) = \frac{{\left| {2.0 – 0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}.\)
Chọn A.
