by Biết \(M\left( {1; – 6} \right)\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = 2{x^3} + b{x^2} + cx + 1\). Tìm tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số đó.
A. \(N\left( {2;6} \right)\)
B. \(N\left( { – 2;11} \right)\)
C. \(N\left( {2;21} \right)\)
D. \(N\left( { – 2;21} \right)\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
\(M\left( {a;b} \right)\) là điểm cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}f’\left( a \right) = 0\\f\left( a \right) = b\end{array} \right.\) và \(f’\left( x \right)\) đổi dấu từ âm\(\left( – \right)\)sang dương\(\left( + \right)\) khi đi qua điểm \(x = a\).
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)
Ta có:\(f’\left( x \right) = 6{x^2} + 2bx + c\)
\(M\left( {1; – 6} \right)\) là điểm cực tiểu của hàm số đã cho nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}f’\left( 1 \right) = 0\\f\left( 1 \right) = – 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 + 2b + c = 0\\2 + b + c + 1 = – 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b + c = – 6\\b + c = – 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3\\c = – 12\end{array} \right.\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}f’\left( x \right) = 6{x^2} + 6x – 12 = 6\left( {x – 1} \right)\left( {x + 2} \right)\\ \Rightarrow f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = – 2\end{array} \right.\\x = – 2 \Rightarrow f\left( { – 2} \right) = 21\end{array}\)
Do đó \(N\left( { – 2;21} \right)\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho.
Chọn D.
